论数学在现代科技中的应用
摘要 ：本文探讨了数学在现代科技众多领域中的广泛应用，包括计算机科学、物理学、金融学、人工智能等。通过具体案例和理论分析，阐述了数学作为基础学科对推动科技进步所发挥的关键作用，并对未来数学与科技融合的发展趋势进行了展望。
一、引言
数学作为一门古老而基础的学科，其重要性在现代科技的飞速发展中愈发凸显。从复杂的算法设计到精确的模型构建，数学的理论和方法贯穿于各个科技领域，成为解决实际问题和实现创新的有力工具。
二、数学在计算机科学中的应用
（一）算法设计
算法是计算机科学的核心，而数学中的逻辑推理、图论、数论等知识为算法的设计和优化提供了坚实的基础。例如，排序算法中的快速排序、归并排序等，都运用了数学中的分治思想和递归原理，极大地提高了数据处理的效率。
（二）密码学
密码学是保障信息安全的关键技术，其背后依赖于数学中的数论、代数等知识。如公钥加密算法 RSA 就是基于大整数分解这一数学难题，确保了信息在传输过程中的保密性和完整性。
三、数学在物理学中的应用
（一）经典力学
牛顿运动定律和万有引力定律的建立离不开数学的微积分工具。通过对力、位移、速度、加速度等物理量的微积分运算，能够精确地描述物体的运动状态和相互作用。
（二）量子力学
量子力学中的波函数、薛定谔方程等概念和理论，需要借助线性代数、概率论等数学工具进行表述和求解。数学的严谨性和精确性为物理学家理解和探索微观世界的奥秘提供了有力支持。
四、数学在金融学中的应用
（一）风险评估
金融机构在进行投资决策和风险管理时，需要运用数学模型对资产价格的波动、市场风险等进行量化评估。例如，VaR（Value at Risk，风险价值）模型就是基于概率论和统计学的方法，计算在一定置信水平下投资组合可能遭受的最大损失。
（二）衍生品定价
金融衍生品的定价问题涉及到复杂的数学模型，如 Black-Scholes 期权定价模型，该模型运用随机微分方程等数学工具，为期权等金融衍生品的合理定价提供了理论依据。
五、数学在人工智能中的应用
（一）机器学习
机器学习中的许多算法，如线性回归、决策树、神经网络等，都基于数学中的统计学、优化理论等知识。通过对大量数据的学习和训练，模型能够自动提取特征、发现规律，实现预测和分类等任务。
（二）深度学习
深度学习中的卷积神经网络、循环神经网络等架构，其背后的数学原理包括矩阵运算、梯度下降算法等。数学的优化方法在调整网络参数、提高模型性能方面发挥着重要作用。
六、结论
数学在现代科技中的应用无所不在，它不仅为科技的发展提供了理论支撑和方法指导，还不断激发着新的科技突破和创新。随着科技的不断进步，对数学的需求将更加迫切，数学与科技的融合也将更加紧密。未来，我们应进一步加强数学教育和研究，培养更多具备扎实数学基础和创新能力的科技人才，以推动科技的持续发展。
牛顿与莱布尼茨分享创建微积分的荣耀,在数学界很难想象比此更大的荣誉了。但两人却也因此发生过激烈争吵，就连各自的粉圈也齐齐上阵，唇枪舌剑弥漫整个英吉利海峡。
历史的真相到底是什么？
作者：[美] 威廉·邓纳姆
译者：冯速
01
地狱开局，封神收尾
1705 年 4 月 16 日, 在一次庄严的剑桥大学授爵仪式上,英国安妮女王封艾萨克·牛顿为爵士。借此,这位女王把不列颠的最高荣誉授予了她最重要的国民之一。
关于牛顿爵士的一大事实就是他是跨越两门学科的神一样的人物。让任何一位数学家说出三四位历史上最有影响的数学家,他们无一例外都要提到牛顿。让任何一位物理学家说出三四位伟大的物理学家,这其中肯定还会包括牛顿。
的确,牛顿生活在学科之间还没有竖起不可逾越的高墙的时代。在他那个时代,数学和物理学之间没有明显的界限,它们拥有共同的方法、问题和从业者。 那是一个把诸如光学、天文学、力学作为数学的一个分支的时代。
科学发展到今天,数学家和物理学家常常发现他们各自太专业而已无法彼此交流,因此很难想象三个世纪之前,他们之间的界限竟能模糊到不存在的程度。所以,你也许小看了牛顿的这种跨越学科的卓越。
然而,这也许漏掉了关键的一点。被两个学科的从业者如此高看的人物的确非常少有。类似的人物还有剧作家兼诗人莎士比亚,或者画家兼雕塑家米开朗琪罗,但是他们的双重卓越还是不能与牛顿媲美。牛顿的身份的确是非同寻常。
对于牛顿来说,生命之初是那样地不稳定。1642 年,牛顿出生于英格兰的伍尔索普,他是个早产儿,因此活下来的机会很小。另外,他的父亲在他出生的几个月前去世了。但是, 更大的冲击即将来临。就在他3 岁那年,牛顿的寡母再婚, 并搬到她新丈夫的家。深思熟虑之后,她还是决定抛下牛顿不管。几年之后她又回到牛顿身边,但是很多心理历史学家相信,这期间,小艾萨克受到的伤害已经无法挽回。关于这个话题,一本非常畅销的书说：“牛顿近期的所有传记作家都认为,在三岁到十岁与母亲的这种分离是造成成年牛顿多疑、神经质和扭曲个性的关键因素 。”
不管牛顿是不是神经质,他都显示出了无可争议的天才迹象。这表明他应该进入大学,与此同时他显然对于成为乡绅不感兴趣。于是在1661 年他进入了剑桥大学的三一学院, 开始了他非同寻常的学术生涯。
02
在荣耀面前，选择沉默
一个事实可能促成了这样的学术旅程：剑桥大学的教授对教学不感兴趣,就像牛顿自己对农业技术不感兴趣一样。因此牛顿可以自由地跟着自己的兴趣走,不久,这些兴趣就远远偏离了代表着当时正式课程特点的希腊语和拉丁语的繁重学习,转向了在那个时代令人兴奋的数学和其他科学门类的进步上来。
牛顿,这位孤独的学者,贪婪地学习这些科目, 直到他能够开始原创性的研究,虽说当时他还是一名大学生。
在 1665 年到 1667 年暴发了瘟疫,这使剑桥大学两次闭校, 在这段空暇时期,他的工作仍在继续。为了躲避瘟疫,牛顿不得不返回伍尔索普的家,但他很难把这次返乡看成悠闲的度假。
正是在伍尔索普,牛顿才遇到了那只苹果。据传说,当时他正在一棵树下休息,差点儿被一只掉下来的果子打到。他沉思着,既然地球能用力拉拽这只苹果,那么它不也能拉更远的天体吗?牛顿回忆道：“我开始考虑把万有引力扩展到月球轨道ye上。” 这就是你能查寻到的万有引力的简短导言。
现代学者认为,那只掉下来的苹果能砸中牛顿未免神乎其神,但是这个故事本身却很吸引人。拜伦勋爵因此这样写牛顿：
自亚当之后,凡人中仅此一位,他抓住了坠落,或一只苹果。
正如上面的插图所展示的那样,在公众的想象中,这只苹果已经是牛顿超凡能力的符号,甚至被印到邮票上了。
这场瘟疫平息下来之后,牛顿返回三一学院。1669 年,尽管他还相当年轻,而且也不知名,却担任了剑桥大学享有盛誉的卢卡斯讲座数学教授。
他众所周知的伟大成就发生在 1687 年,当时在埃德蒙·哈雷（Edmund Halley）的鼓励之下,牛顿最终同意发表他的巨著《自然哲学的数学原理》。这本著作用精确、详细的数学语言陈述了牛顿力学。在这本书中,他引入了运动定律和万有引力的原理,并以数学方式推断了从潮汐流到行星轨道的每一件事情。《自然哲学的数学原理》被很多人视为至今最伟大的科学著作。
由于获得这样的成功,牛顿成了科学界令人瞩目的人物。当然, 公众对此不甚了解,但是非常像 20 世纪的爱因斯坦,牛顿成为新科学的活符号 。伏尔泰称牛顿是“至今最伟大的人”,并评论说像牛顿那样的天才一千年只能出现一个 。
在这次闪耀登场之后,牛顿的生活发生了根本性的变化。1689 年,他代表剑桥大学参加英国“国会会议”。1696 年, 他担任皇家造币厂的监督,并搬到伦敦度过了他的余生。1703 年,他当选皇家学会的会长,并于次年发表了另一份伟大的手稿《光学》。到了 1727 年他去世的时候,艾萨克·牛顿先生已经是一位令人尊敬的科学家、富有的政府官员,是有资格葬于威斯敏斯特教堂名人堂中的英国民族英雄。
对于数学家来说,他最伟大的发现源于大约 17 世纪 60 年代中期被他称为“流数” 的这门学科,但是后来人们采用了莱布尼茨为它起的名字“微积分” 。出于现代人可能永远无法理解的原因,牛顿没有发表他的发现。在拥有可能是历史中最伟大的数学成果的荣耀面前,他却选择了沉默。
03
沉默求静，反引骚乱
牛顿古怪和神秘的个性对他并没有帮助。在他的一生中, 牛顿可能多次发现其他人正在走着他几年前已经走过的思想路线。 如果他总是迟迟不对外公布自己是第一发现者, 这自然就会引起学术界的骚乱。对他来说,假如在刚做出成果的时候交流工作,事情会更简单,这样既能保证他的影响力，还能维护他的名声。
至于他为什么讨厌发表研究成果,人们总是归结为他怪癖的个性：他不信任别人,他讨厌批评,他“不想卷入麻烦和毫无意义的争论之中”。 在下面的评论中他的观点表露得很清楚：“我希望回避所有有关哲学方面的争论,而没有哪种争执能够比刊印出的争执更麻烦。”
因此,我们有这样一位科学家,他很在意他的名声,却不情愿公开他的发现。 甚至对于为私下交流而准备的手稿,牛顿也力求控制其发放范围。“我的数学论文,请一篇也不要发表,”他在给一位有一份其没有发表的手稿的同事的信中写道, “这必须得到我的特别许可。”其实,即使不是牛顿这样级别的天才也能够预见这样的行为会带来不愉快的后果。
随着时间的流逝,他开始卷入关于优先权的纷争之中 ,与其他科学家展开了“谁在什么时候做了什么”的令人厌恶的争吵。他与他的同胞罗伯特·胡克及约翰·弗拉姆斯蒂德发生了冲突,但是他所卷入的最激烈的争论是与莱布尼茨关于谁先创建了微积分的论战。
纵观这段历史,这一事件的基本事实是下面这样的。
(1) 在 17 世纪 60 年代中期,牛顿已经发现了他的流数方法。他在1669 年修改完成的一篇名为《运用无穷多项方程的分析学》的论文中描述了它,到了 1671 年,这一论文被扩充为《流数术与无穷级数》。这些论文都是在英国数学家特定的圈子里交流的,而且没有发表,因此并没有很多人知道。看到过这些东西的人立即意识到牛顿的强大,有人把他描述为“非常年轻……却非同寻常的天才和行家”。
(2) 在 17 世纪 70 年代中期,也就是足足十年后,莱布尼茨提出了本质上相同的方法。由于一次外交任务,1676 年他来到伦敦,看到了一份牛顿的《运用无穷多项方程的分析学》的手稿。
(3) 大约就在这个时候,莱布尼茨收到了牛顿的两封信,就是现在所说的《前信》和《后信》。在这两封信中,牛顿阐述了他关于无穷级数的一些思想以及关于流数的一些思想, 但是相当隐晦。
(4) 1684 年,莱布尼茨发表了关于微分学的第一篇论文,就是我们在第 D 章一开始介绍的那篇。在这篇论文中,莱布尼茨只字未提早在八年前他看过牛顿的手稿或者与他的书信往来。当然也完全没有提到牛顿这个人。
但是,这并不意味着莱布尼茨剽窃了牛顿的东西 （尽管这正是很多英国数学家表明的态度）。这份手稿的形迹确定莱布尼茨尽管与牛顿接触过,但是他独立发现了微积分原理,而且堂堂正正地分享这一发现的荣誉。因为牛顿习惯秘而不宣,所以莱布尼茨在 1684 年的论文毫无疑问成了学术界了解这一优美学科的源头。
显然,两位当事人都有错。如果牛顿在他完成相关发现与莱布尼茨发表论文这中间的二十年里的任何时候发表他的研究成果,那么优先权的问题也就不存在了。因为保持沉默, 牛顿招来了麻烦。对于莱布尼茨来说,如果他承认接触过牛顿的文件,那么他就能更令人信服地得到他应该得到的这份信任。又是因为沉默,莱布尼茨让整个世界都以为他是唯一的发现者。随着这场争吵不断升温,他不断承受着自己的不诚实带来的困扰。
在 1684 年莱布尼茨发表论文之后,牛顿开始抱怨优先权的事,而且这些牢骚渐渐演变成一触即发的愤怒。在牛顿看来,只有第一发现者才有资格得到认可（即使发现者花费了很大努力来隐蔽他的工作以避开公众的视线）。1699年,牛顿在1676年给莱布尼茨的两封信被公之于众,英国人都相信他们已经发现了“确凿的证据”,或者用一句当时的行话,即发现了“确定的武器”来证明后者的学术剽窃行为。
在那之后,局势逐渐恶化,一片混乱。谴责之声如潮水般涌来,各自忠实的粉丝分别加入这两个主要人物的阵营，他们之间的唇枪舌剑弥漫整个英吉利海峡。
反思这段历史,所有时代中最伟大的两位数学家之间的这种相互谴责在欧洲知识史中写下了悲伤的一章。如此天才之人做出这种相互人身攻击的无耻行径,不会给后世更谦逊的知识分子带来好影响。整个事件给牛顿、莱布尼茨、数学 乃至整个学术界带来了极大的困扰。
这样极不体面的争吵使牛顿的形象受损,至少在某种程度上是这样的。在接下来的几十年,他的注意力转到了炼金术和神学。
当然,炼金术是中世纪人们从事的研究,科学家和魔术师想要把普通的化学制品变成金子。牛顿阅读了大量关于这一问题的资料,在他自己制造的炉子旁边花费了大量时间,坚持不懈地把化学制品加热,然后寻找黄金的闪光。与流数研究相比,牛顿对他的炼金术似乎更遮遮掩掩,尽管如此,他的炼金术笔记最终达到近一百万字。
他的神学作品同样数量众多。牛顿是仔细研读《圣经》的大师,喜欢识别预言,联结似乎不相关的段落。他的笔记包含耶路撒冷的神庙的平面设计图,这是他依据《圣经》的相关段落整合而成的。他还发表了《但以理书》和《圣·约翰启示录》两卷本等著作。这显然是他主要关注的一个问题。
遗憾的是,尽管无论是数学还是物理学都因牛顿的著作而彻底丰富起来,但是他在神学方面的遗产却没有保存下来,而且今人把炼金术士都看成江湖骗子。人们很想知道：如果牛顿在这些事情上投入的时间少一些,那么他还可能取得哪些科学成就?
上文转自图灵新知，节选自《数学那些事》，作者威廉·邓纳姆，【遇见数学】已获转发许可。
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作者：[美] 威廉·邓纳姆（William Dunham）
译者：冯速
本书是一部短文集，文章以各自英文标题的首字母按照A到Z的顺序排列，每一篇短文都讲述了一个特定的数学主题，介绍了数学世界不可不谈的伟大定理、难题、争论和不解之谜。
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