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勾股定理教学案例及其实践思考
作者：刘娜
作品编号：030
投稿时间：2020.7.29
摘 要 ：基于对《勾股定理》教学活动的认识和思考，本文就笔者本节课的课堂教学实例过程和其中蕴含的数学文化进行了多方面的阐述。
关键词 ：课堂教学 能力提高 数学文化
建跃博士在数学核心素养的解读中指出，从数学知识发生发展过程的合理性、学生思维过程的合理性上加强思考，这是落实数学学科核心素养的关键点，要把如何抽象数学对象、如何发现和提出数学作为教学的关键任务，以实现学生从“知其然”到“知其所以然”，再到“何由以知其所以然”的跨越。因此，在具体教学时，教师应精心进行课堂预设，合理设计教学活动，让学生经历一系列数学思维活动，在感受体验的过程中获得数学知识和数学经验，培养数学思想文化和情感态度。
《勾股定理》是沪科版教材八年级下册第18章第1节内容，本节课课本上创设的情境是采取以直角三角形的三边为边长向外构造正方形，利用数格子的方法探究三个正方形之间的面积关系，进而得到勾股定理，然后引入“赵爽弦图”来证明。几年前笔者曾拿此课题上过一节市级公开课，当时在区教研员的帮助下，果断改变了课堂预设，轻“定理内容的导入”，重“定理内容的证明”以及“不同证法之间的联系”。由于选取的教学角度相对比较新颖，在当时引起听课老师的热烈讨论。而最近笔者又遇到一个上本节课题的机会，于是综合之前对本节课的理解和把握，又重新构思了课堂的生成过程。
基于之前对本节知识重难点的理解，笔者又翻阅了不同版本教材中勾股定理部分的内容，同时阅读大量相关的研究论文等文献素材，在和多位经验丰富的同事探讨钻研之后，重新设计了课堂预设，并进行了相应的课堂教学和课后反思。整个过程耗时一个多月，在构思和教学的过程中，笔者迸发出了对《勾股定理》这节课的新认识，感受颇深。
一、课堂教学中的几处思考
沪科版教材勾股定理第一课时主要是引导学生探究发现和证明该定理，并进行简单的应用。在实际教学中发现，如此导入虽较容易得到勾股定理的内容，但这个情境的创设正是根据结果中平方的形式来构造的。在学生们不知道勾股定理的前提下直接创设此情境会略显刻意，不仅让学生产生为什么要这样做的困惑，而且此构造方法在后续教学中就没有再出现过，使用效率较低。基于在具体教学中产生的思索，笔者对教学内容进行了改进。
1.承上启下，串线引入
介于直角三角形在九年级的学习中还会再次出现，笔者从直角三角形的相关性质入手，引导学生回顾直角三角形的“角与角的关系（两直角互余）”、“边与边的关系（两边之和大于第三边、两边之差小于第三边）”，然后提出疑问：直角三角形的三边是否存在某种等量关系？激发学生探索的兴趣，明确本节课的目的意在探究直角三角形“边与边的等量关系”。在结尾课堂小结时，再适时提出直角三角形还存在“边与角的关系”，为后续九年级学习锐角三角函数埋下伏笔。
2.渗透思想方法，关注能力培养
（1）转化归纳、类比联想
笔者采取从特殊的等腰直角三角形出发，到网格中的一般直角三角形，再到去网格化一般的直角三角形进行探究与证明；同时启发学生由具体的关系归纳出抽象的猜想，并通过拼图验证猜想、发现定理，体现了从特殊到一般的研究方法。具体操作如下：
在开始进行探究时，教师提示学生从特殊的等腰直角三角形入手，直角边是单位1时斜边多长？直角边为3时又如何？然后恰当的引入客厅地板砖的拼图设计，引导学生用四个全等的等腰直角三角形构造正方形，利用面积法来计算斜边长。学生们在已有的数学基础之上，很容易得出对应的结论，然后通过分组合作，观察三边长度的数据来猜测关系。（见图1-3）
图1
图2
图3
猜测出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方这一结论后，笔者又给出两组一般情况下的直角三角形，引导学生通过平移四个全等的直角三角形，构造以斜边为边长的正方形，利用赵爽弦图来得出斜边的长。学生通过数格子计算面积验证，再类比总结归纳出结论的文字描述。这也为后续的“等积法”证明定理打下基础。(见图4-7)
图4
图5
图6
图7
（2）数形结合，合理转化
在学生们观察发现和总结归纳出勾股定理的内容后，笔者继续追问，引导学生研究定理的表达形式：，对平方这一形式进行有效联想：从联想到以c为边长的正方形的面积公式，进而引出另一种与赵爽弦图联系较紧密的证法（见图8-9），从而可以深化学生对赵爽弦图的印象；而第三种证明勾股定理的方法（见图10）为之后进行模型探究性专题学习打下了基础。
图8
图9
图10
二、备课中及课后反思时的启发与联想
1.勾股定理与四边形的联系
后续学习关于四边形等综合性的几何问题时，经常会运用到勾股定理及相似三角形或直接计算或构造方程解决问题，这里不加赘述。而在备课过程中，笔者翻阅参考了相关文章，发现苏教版教材的章头图采取了如“图a左”的形式，其中图形①、②、③、④面积相等，是全等的。这其中蕴含了平行四边形的一个特殊性质，即经过平行四边形对角线交点的任一条直线均等分平行四边形的面积。实际上从特殊情况（图a右）入手分析，便可得到此“章头图”的分割方法：过正方形中心分别作垂直于斜边AB及平行于斜边AB的两条直线。
图a
2.勾股定理中涉及到的数学文化
在本节课的教学中插入了一段数学史话：西周初的数学家商高在公元前1000年就发现勾股定理的一个特例。早在公元3世纪，我国数学家赵爽就已经利用“弦图”证明了这个关系。而国外据说最早是由一位叫毕达哥拉斯的数学家发现并证明的.
通过数学历史的学习，学生不仅了解了与勾股定理有关的相关知识，渗透了数学文化，增强了文化自信，意识到勾股定理在数学中的重要地位。之后导入【勾股树】的几何画板动态演示（见图b），让学生眼前一亮，体会到数学之美妙和神奇！
图b
而在用“等积法”证明勾股定理时，教材中着重介绍了赵爽弦图证法（见图11），并在教材“阅读与思考”中补充了利用图12的证法。这两种拼图结构在后续几何问题中也是常常出现，笔者将其统一称之为“弦图模型”。
图11
图12
为了区分，不妨称图13为“内弦图模型”，图14为“外弦图模型”。
1.内弦图模型：如图13，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F,CG⊥DH于点G,DH⊥AE于点H.则有结论：
【这里要注意“局部弦图”的出现】
2.外弦图模型：如图14，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是正方形ABCD 各边上的点，且四边形EFGH是正方形.则有结论：
【这里要注意含有“一线三垂直模型”】
图13 图14
教学勾股定理时，可以比较两种拼法之间的关系，让学生不仅更容易记忆和理解，在后续的应用解题中也能更好的联系已学知识来解决未知问题。如下面例题：例、如下图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，以AB为边作正方形ABDE，连接AD、BE交O，CO=，
则AC的长为 A.2 B.3 C.4 D.
很多参考资料给出的答案为：“延长CB，过点D作DF⊥CB于点 F,过点O作OM⊥CF于M. 则易证Rt△ACB≌Rt△BFD,∴AC=BF,BC=DF, 设AC=x，由OM是梯形ACFD的中位线， 得
但在给出此题后，有学生利用“弦图模型”给出了如下解法：
将题图放入如下的拼图中，则CO为大正方形CFGH对角线CG的一半，易得大正方形边长为6，即CH=6.而利用拼图中的四个全等直角三角形，有Rt△ABC≌Rt△EAH ∴AH=BC=2 ∴AC=4 . 故选C.
但在给出此题后，有学生利用“弦图模型”给出了如下解法：
将题图放入上图的拼图中，则CO为大正方形CFGH对角线CG的一半，易得大正方形边长为6，即CH=6.而利用拼图中的四个全等直角三角形，有Rt△ABC≌Rt△EAH ∴AH=BC=2 ∴AC=4 . 故选C.
这位学生举一反三，灵活运用“外弦图模型”轻松解出了此题，这也是我未曾想到的，此法的巧妙很是令人刮目相看。当他讲完思路后，全班同学都不约而同发出了赞叹之声。。同学们通过合作探索和钻研，更深刻的感受到了数学文化与现实生活的联系。
叶澜教授曾说过：“教师只要思想上真正顾及学生多方面成长，顾及生命活动的多面性和师生共同互动中多种组合和发展方式的可能，就能发现课堂教学具有生成性的特征。”身为数学教师，我们不仅要传授学生基本的概念和知识点，更重要的是培养学生运用数学思想方法去发现问题、解决问题，体会数学文化对现实生活的影响。因此，教师更需要在平日的教学中多钻研、多反思，不拘泥于常规，才能完善和提高教学水平，改善和激发学生学习数学的兴趣和信心。
参考文献
[1] 吴之季 苏淳：《义务教育教科书数学八年级（下册）》[M]，上海科学技术出版社.
[2] 杨裕前 董林伟：《义务教育教科书数学八年级（上册）》[M]，江苏科学技术出版社.
[3] 李军：基于学生视角，巧用课堂生成. 中学数学教学参考[J],2016(4):16-18.
[4] 刘明明：核心素养指向的“重难点突破”创新教学微课示例（一）勾股定理的探究与证明. 中学数学教学参考[J],2019(1-2):13-16.
[5] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011 年版)[M].北京:北京师范大学出版社， 2012:1
在贵阳市,有一所小学六年级一个班级的学生居然都在写小 “学术”论文 ，是不是很牛！很霸道！大家不要以为这是什么“小学毕业论文”哦，这仅仅只是这群孩子的作业而已。
那大家是不是很想知道这些霸道的孩子都是哪个学校的呢？他们的论文究竟是怎样的呢？我们这就来见识一下这些孩子们吧！
这些会写论文的孩子是贵阳市南明小学六年级（6）班 的学生，他们的“学术”论文竟是以“数学”这一让众多小学生和他们的家长都倍感压力的学科为选题展开的。来看看他们的论文题目都是这样的——“勾股定理的发现与证明”、“日历中的数学”、“购物中的发现”......
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看了这些学校学生的论文是不是很有感触啊！这些论文是怎么“炼”成的呀？
南明小学六年级（6）班的数学老师崔老师 告诉小编，关于让孩子们写论文，这个想法可不是他想出来的，是贵州省基础教育科学研究学术指导委员会主任吕传汉老师提出来的。
吕老师表示 ，数学和语文、和任何一个学科都有贯通之处，培养数学的思维能力，就是各个学科的大集合学习法，而崔老师便将这个想法运用到了教学中。
吕传汉
● 贵州省普通高中课程改革专家组组长
● 贵州省基础教育科学研究学术指导委员会主任
● 贵州师范大学基础教育师资培训中心专家组组长
刚把作业布置下去时，崔老师表示还是有些忐忑的，担心对于六年级的学生来说，会不会涉及到知识超前的问题，特别是面临小升初，课业繁重，写论文会不会增加他们的学习负担，学生、家长会不会有意见等等。然而，反应却超出了他的预想，不仅学生们积极响应，家长也很支持，而这种新的数学学习方式还激发了学生们的学习主动性和热情。
在为学生们讲解了论文的写作格式和写作方法后，孩子们的热情一下子被点燃了，课间同学们互相交流论题，回家从网上查阅资料，一遍又一遍的向老师和家长请教，他们勤学好问的学习态度十分端正，在完成论文的过程中，将解题过程详细的记录下来，达到了对知识点的巩固和对新知识的涉猎。而崔老师也表示，通过这一次数学论文作业的布置，在学生们的身上他看到了惊喜。
然而不仅仅是老师发现了惊喜，陈煜天同学在写《勾股定理的发现与证明》 时也收获了惊喜。为了找充足的论据，他上网查阅了许多勾股定理的相关知识，不仅仅是六年级课本的内容，探索到的许多新知识让他十分激动，而在这个巩固知识拓展知识的写论文学习过程中，他也表示对数学更有信心和兴趣了。
就在论文完稿收上来后，崔老师为了让同学们更加理解到写论文不仅仅是学习巩固数学知识，更是可以将这种学习方式运用到所有的学科中，于是他请来了吕传汉老师为同学们上了一堂生动的“写作”课。
课上，吕老师告诉孩子们，在数学的学习过程中，要勤思考，老师讲的问题，要主动多思考，多问为什么的同时，要主动找答案，然后通过日记或者论文表达出来，培养动手写论文的能力。
吕老师说，写数学日记（包含数学论文）和锻炼思维能力是相辅相成的 ，就像我们看一个人的手，一个手指、两个手指、三个手指，从一开始，到任何一个概念和定理的产生或发展，都是大脑思维的产物，而数学，就是在人的思维加工中产生的，它会受到客观事物的影响，而通过写数学论文，对思维的训练是很好的，这种思维能力也是可以受益终身。
对于为什么要在小学阶段尝试让小学生写“学科论文”这个问题，吕老师认为，在新的时代背景下，学生从小学习的方式就要有所转变。尤其是数学，从小学阶段开始，就要让学生树立这样一个概念：数学不仅仅是考试的科目，更要成为提升学习能力、实践能力、动手能力、数字化能力、创新能力、交际能力和应变能力的实际运用型学科。从写数学日记、数学小论文开始，逐渐改变学生们在数学学习时读题解题的惯性学习模式，从而建立多元的数学思维模式。
他说：“对于所有学科来说，思维是关键。手在动，大脑在思考，在写数学论文的时候，不仅可以进行数学学习，还能训练文字表达能力，而在这个写的过程中，不仅加深了对知识点的思考，而且思维能力也得到很好的锻炼。”
据小编了解啊，南明小学下一步的目标可不只是六年级（6）班的同学们写数学论文这么简单呢。为了培养学生们的思维能力，写小论文、写日记，让学生们对自己的学习问题进行探索和总结才是接下来的大事，不只是一个班，要从每个年级每个班开始，让学生们动手动脑齐上阵，在从小的学习中，学会表达，提升思维能力。
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稿件作者 | 小编桔梗 页面编辑 | 小编新一
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喂，别走啊！你还没点zan呐！
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